根据题目给出的曲面方程,可以得知曲面S2为以闭圆盘+x^2+z^2为底面的曲面,而曲面S1为y=1面上的一块曲面。现在需要计算整个曲面的面积。
根据题目要求,曲面S = S1 + S2,其中S1为y=1面上的曲面,而S2为以闭圆盘+x^2+z^2为底面的曲面。所以曲面S可以看作由曲面S1和曲面S2组成。
给定S2的底面为闭圆盘+x^2+z^2,可以将其参数化为:
x = r*cosθ,y = 1,z = r*sinθ,
其中,r为圆盘的半径,θ为圆盘上一点的极角。
根据该参数化方式,可以求出S2上某一点的法向量:
n = (dy/dx, -dz/dx, 1) = (0, -cosθ, sinθ)。
因为根据题目要求,曲面S2的取正方向,所以法向量n的方向需要改为指向曲面外部的方向:
n = (-0, cosθ, -sinθ) = (0, cosθ, -sinθ)。
根据曲面积分的定义,曲面积分计算公式为:
∫∫S F • n dS,
其中F为曲面上的矢量函数,n为曲面上某一固定点的法向量,dS为曲面上的微小面积元。
根据题目所给的曲面S2:y = 1,可以得到曲面S2的参数化方程为:
r(u, v) = (vcosu, 1, vsinu),
其中u, v为参数,范围分别为[0, 2π]和[0, r]。
对曲面S2进行参数化后,再对曲面S2进行面积分的计算。
根据参数化后的曲面S2,可以计算微分面积元:
dS = |r_u × r_v| dudv,
其中r_u为r对u的偏导数,r_v为r对v的偏导数。
对r(u, v)分别对u和v求偏导数,得到:
r_u = (-vsinu, 0, vcosu),
r_v = (cosu, 0, sinu)。
计算r_u × r_v,得到:
r_u × r_v = det(|i j k|,
|-vsinu 0 vcosu|,
|cosu 0 sinu|) = (-vcosu, -v, -vsinu)。
根据微分面积元的计算公式,可以得到:
dS = |r_u × r_v| dudv,即
dS = |-vcosu, -v, -vsinu| dudv = sqrt(v^2 + v^2) dudv = sqrt(2v^2) dudv = sqrt(2v) dudv。
所以,曲面积分的计算公式变为:
∫∫S F • n dS = ∫∫S2 F • n dS = ∫∫S2 F • (0, cosθ, -sinθ) sqrt(2v) dudv,
其中θ = arctan(x/z),v = sqrt(x^2 + z^2)。
接下来,需要计算曲面积分的具体值。
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